Независимое внешнее тестирование 2011: 2011

четверг, 9 июня 2011 г.

Правильные ответы на задания ЗНО 2011 по математике

Официальный сайт внешнего тестирования, testportal.gov.ua , опубликовал правильные ответы на задания теста по математике.

Ознакомиться с ними можно по ссылке:
http://www.abiturient.in.ua/uploads/File/otv_matemat_2011.pdf

четверг, 2 июня 2011 г.

Решение уравнения с параметром на внешнем тестировании 2011 по математике (пробном)

Задание 35. Рациональные уравнения с параметром. Укажите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение $\frac{x^2-x + a}{2x + 3}=0$ имеет ровно один корень.

Решение

Во-первых, найдём область дрпустимых значений. Знаменатель не должен быть нулём, значит, х не равен -1,5.

Теперь рассмотрим числитель. Уравнение x²-x+a=0 имеет единственный корень, когда дискриминант его D=1-4a обратится в ноль, т.е. при a=0.25.

Однако, это ещё не решение исходной задачи. Ведь может быть и такой случай: числитель обращается в 0 при двух разных значениях х, но одно из этих значений не будет входить в ОДЗ, и в результате у уравнения всё равно будет единственный корень. Получается, нужно найти ещё таике значения а, при которых уравнение x²-x+a=0 имеет два корня, один из которых равен –1,5.

Это легко найти по тереме Виета. Т.к. сумма корней уравнения должна быть равна единице (второй коэффициент с противоположным знаком), то второй корень равен 2,5. Тогда параметр а равен произведению корней и составит -3,75, что меньше значения 0,25, поученного нами ранее. Его и запишем в ответ.

Ответ: -3,75

Вычисление объёма пирамиды на ЗНО-2011 по математике (пробном)

Задание 34. Стереометрия. Пирамида. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом 15^o. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60^o. Радиус шара, описанного около пирамиды, равен 6 см. Вычислите объём пирамиды (в см³)

Решение

Изобразим данную пирамиду. Т.к. все рёбра наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности. Для прямоугольного треугольника он лежит на серединк гипотенузы.

Следовательно, грань SAB перпендикулярна плоскости основания, и центр описанного шара, (т.О) лежит в ней. Т.к. эта грань представляет собой равнобедренный треугольник с углом 60^o при основании, то она – равносторонний треугольник в радиусом описанной окружности, равным радиусу описанного шара около пирамиды SABC $SO=OA=OB=\frac{AB\sqrt{3}}{3}$

$AB=6\sqrt{3}$

Высота равностороннего треугольника в полтора раза больше радиуса описанной окружности: SH = 1,5 SO=9 (см)

Теперь найдём площадь основания АВС. По двум сторонам и углу между ними $S_{ABC}=0.5 AB\cdot BC \sin\angle ABC=0.5 AB\cdot AB \cos\angle ABC \sin\angle ABC=\\=0.25 AB^2 sin (2\angle ABC) = 0.125 AB^2 = \frac{27}{2}$ (см²)

Находим объём

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC}\cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{2}\cdot 9 = \frac{81}{2} = 40,5$ (см³)

Ответ: 40,5 (см³)

Решение показательного неравенства

Задание 33. Показательные неравенства. Решите неравенство $3\cdot 9^x - 2\cdot 15^x - 5^{2x + 1}>0$ Если у неравенства есть целые решения, укажите наибольшее из них. Если решения есть, но указать наибольшее целое невозможно, в ответ запишите число 50. Если у неравенства нет решений, в ответ запишите число 100.

Решение

Неравенство перепишется так:

$3\cdot 9^x - 2\cdot 15^x - 5\cdot 25^x>0$

Разделим обе части на 25^x:

$3\cdot \left(\frac{9}{25}\right)^x - 2\cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x - 5>0$

Делаем замену $\left(\frac{3}{5}\right)^x=t,~t>0$

3t²-2t-5>0

(t+1)(3t–5)>0

Учитывая ограничения на t, берём промежуток $t>\frac{5}{3}$

$\left(\frac{3}{5}\right)^x>\frac{5}{3}$

x<-1

Наибольшее целое значение х, удовлетворяющее этому неравентву х=-2.

Ответ: -2

Вычисление тригонометрического выражения

Задание 32. Тригонометрия. Вычислите tg²x + ctg²x, если tgx – ctgx = 4

Решение

Возведём обе части выражения tgx-ctgx=4 в квадрат:

tg²x-2 tgx ctgx + ctg²x = 16

tg²x+ ctg²x = 18

Ответ: 18

Комбинаторная задача пробного внешнего тестирования по математике 2011

Задание 31. Комбинаторика. Заместитель директора составляет расписание для 10 класса. На понедельник запланировано 6 предметов: геометрия, биология, английский язык, химия, физкультура, география. Сколкьо всего существует вариантов расположения уроков для этого дня, если урок физкультуры должен быть последним?

Решение

Поскольку положение физкультуры зафиксировано, то у нас есть 5 элементов, которые нужно расположить по пяти позициям. Всего размещений будет 5!=120.

Ответ: 120

Задача на растворы ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 30. Проценты. Сколько литров 5-процентного раствора соли нужно долить к 30 литрам 12-процентного раствора соли, чтобы получить 9-процентный раствор?

Решение

Для решения таких задач удобно использовать правило креста. Сначала пишем исходные концентрации:

Теперь правее между ними пишем целеую концентрацию:

5
	9
12

И, наконец, на продолжении каждой диагонали пишем разность между угловой и центральной клетками:

5		3
	9
12		4

Значит, 5-процентный и 12-процентый растворы нужно брать в отношении 3:4. Т.к. 4 части 12-процентного раствора – это 30 литров, то одна часть составит 7,5 литров, а три части – 22,5 л.

Ответ: 22,5 л.

Наибольшее значение функции: задача ЗНО 2011 (пробного)

Задание 29. Функции. Парабола. Найдите наибольшее значение функции y=-x²+3x-4. Если функция не имеет наибольшего значения, в ответ запишите число 100.

Решение

Графиком это функции является парабола. Т.к. коэффициент при квадрате отрицателен, то ветви её направлены вниз и наибольшее значение функция достигает в точке вершины. Абсцисса этой точки находится по формуле

$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-3}{-2}=1,5$

Подставив это значение в формулу, получим y₀ = -2,25 + 4,5 – 4 = -1,75

Ответ: -1,75

Нахождение длин проекций на пробном внешнем тестировании-2011

Задание 28. Планиметрия. Трапеция. На рисунке изображена равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 8 см, ВС = 4 см, АС = 10 см. Установите соответствие между проекцией отрезка на прямую (1–4) и длиной проекции (А–Д)

Проекции

1. Проекция отрезка BC на прямую AD

2. Проекция отрезка CD на прямую AD

3. Проекция отрезка AC на прямую AD

4. Проекция отрезка AD на прямую AC

Длины

А 2 см

Б 4 см

В 4,8 см

Г 5,6 см

Д 6 см

Решение

1. Т.к. BC||AD, то его проекция будет равна его длине, т.е. 4 см.

2. Т.к. трапеция равнобокая, то проекции боковых сторон на большее основание будут равны и составят по 0,5(8 - 4) = 2 см.

3. Т.к. общая длина АD 10 см, а проекция CD на него равна 2 см, то длина проекции АС равна 6 см.

4. Сначала найдём высоту трапеции. Т.к. наклонная AC равна 10 см, а её проекция равна 6 см, то наклонная, проекция и высота трапеции формируют египетский треугольник с коэффициентом пропорциональности 2. Значит, высота трапеции составит 8 см. Далее, т.к. имеем дело с тестированием и три ответа уже отсеяны, можно применить остроумный приём для сокращения вычислений. В треугольнике ADC AD = 8, AC== 10, а CD больше высоты трапеции, т.е. CD>8.

Если бы стороны AD и CD были равными, то проекция AD на АС равнялась бы половине последней, т.е. пяти. А в данном случае она окажется немногим меньше пяти, т.е. 4,8.

Об этом красивом приёме рассказал нам выпускник 11-Д класса лицея №25 г.Кировограда Виталий Сиденко

Ответ: 1–Б; 2–А; 3–Д; 4–В

Вычислительная задача пробного ЗНО-2011

Задание 27. Формулы сокращённого умножения. Установите соответствие между числовыми выражениями (1–4) и их значениями (А–Д)

Решение

1. Применим формулу квадрата суммы:

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2-2\sqrt{6}=3 + 2\sqrt{6} + 2-2\sqrt{6}=5$

2. Это выражение собирается в разность квадратов:

$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5} + 2)=5-4=1$

3. Можно применить квадрат разности, однако есть более простой способ – выделить общий множитель:

$(3\sqrt{3} + \sqrt{12})^2=(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$

4. Раскрываем скобки:

$\sqrt{2}(\sqrt{50}-\sqrt{8})=\sqrt{100}-\sqrt{16}=10-4=6$

Ответ: 1–В; 2–Д; 3–Г; 4–Б

Задача на соответствие графиков функциям пробного ЗНО-2011

Задание 26. Тригонометрия. Графики. Функции. Установите соответствие между функциями (1–4) и их графиками (А–Д)

Решение

1. График y=sinx представлен на рисунке Б (кстати, вот эта юмористическая картинка помогла многим нашим ученикам надёжно запомнить вид графиков основных функций).

2. График y=-cosx – это косинус, отражённый сверху вниз. Рисунок Д.

3. При прибавлении числа к аргументу функции, график смещается влево на это число. Рисунок Г.

4. Если аргумент берётся по модулю, все части графика, находящиеся ниже оси абсцисс, отражаютсявверх. Рисунок В.

Ответ: 1-Б, 2-Д, 3-Г, 4-В

Графическое решение неравенства на ЗНО-2011 по математике

Задание 25. Функции. На рисунке изображены графики функций f(x) = x + 3 и $g(x)=\sqrt{9-x^2}$ . Решите неравенство $f(x)\geq g(x)$

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
$\left\{-3\right}\cup [0;3]$	$(-\infty;-3]\cup[0; \infty)$	[-3; 0]	$\left\{-3\right}\cup [0; \infty]$	[0;3]

Решение

Графически решением данного неравенства будет та область, для которой f(x) и g(x) определены и график f(x) находится выше графика g(x) или совпадает с ним. Такой областью будет точка x=-3 и закрытый промежуток [0; 3]

Ответ: А $\left\{-3\right}\cup [0;3]$

Решение задачи 24 ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 24. Трапеция. Хозяину нужно вспахать огород, имеющий форму прямогуольной трапеции. Размеры огорода указаны на рисунке. Вспахать трактором 100 м² земли стоит 8 гривен. Сколько денег должен заплатить хозяин за вспашку всего огорода?

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
144 грн.	450 грн.	576 грн.	288 грн.	360 грн.

Решение

Площадь трапеции равна полусумме её основания на высоту. Площадь данной трапеции составит 3600 м². Тогда стоимсоть работ равна 288 гривен.

Ответ: Г 288 грн.

Вычисление арккосинуса на внешнем тестировании 2011 (пробном)

Задание 23. Тригонометрия. Вычислите $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
$-\frac{\pi}{3}$	$-\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{5\pi}{6}$

Решение

Вспомнив таблицу косинусов, получим, что

$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$

А для отрицательного аргумента значение функции будет дополнительным до $\pi$ , т.е. $\frac{5\pi}{6}$

Ответ: Д $\frac{5\pi}{6}$

Решение задачи про конус ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 22. Стереометрия. Конус. Высота конуса вдвое больше диаметра его сонования. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
15^o	30^o	45^o	60^o	75^o

Решение

В осевом сечении такого конуса. Будет равнобедренный треугольник, высота которого равна половине основания. Таким образом, он сам ею разобьётся на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Значит, острый угол при основании исходного треугольника, являющийся углом между образующей конуса и плоскостью его основания, составит 45 градусов.

Ответ: В 45^o

Вычисление производных на ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 21. Производные. Найдите производную функции $f(x)=\frac{x}{x^2 + 1}$

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
$f'(x)=\frac{1 + 3x^2}{(x^2 + 1)^2}$	$f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2 + 1)^2}$	$f'(x)=\frac{1}{2x}$	$f'(x)=\frac{1-x^2}{x^2 + 1}$	$f'(x)=\frac{x^2-1}{(x^2 + 1)^2}$

Решение

По формуле производной частного:

$f'(x)=\frac{x^2 + 1-x\cdot2x}{(x^2 + 1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2 + 1)^2}$

Ответ: Г $f'(x)=\frac{1-x^2}{x^2 + 1}$

Решение задачи про цилиндр ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 20. Стереометрия. Цилиндр. Периметр осевого сечения цилиндра равен 32 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна 10 см.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
$30\pi$ см²	$60\pi$ см²	$90\pi$ см²	$120\pi$ см²	$360\pi$ см²

Решение

Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, 2 стороны которого – высоты цилиндра, в две другие – его диаметры. Т.к. его периметр равен 32 см, а высота цилиндра составляет 10 см, то диаметр цилиндра равен 6 см.

Боковая поверхность цилиндра вычисляется как произведение длины окружности основания на высоту и составит $6\pi\cdot10=60\pi$

Ответ: Б $60\pi$ см²

Независимое внешнее тестирование 2011

Полезные игры и приложения

четверг, 9 июня 2011 г.

Правильные ответы на задания ЗНО 2011 по математике

четверг, 2 июня 2011 г.

Решение уравнения с параметром на внешнем тестировании 2011 по математике (пробном)

Вычисление объёма пирамиды на ЗНО-2011 по математике (пробном)

Решение показательного неравенства

Вычисление тригонометрического выражения

Комбинаторная задача пробного внешнего тестирования по математике 2011

Задача на растворы ЗНО-2011 по математике (пробного)

Наибольшее значение функции: задача ЗНО 2011 (пробного)

Нахождение длин проекций на пробном внешнем тестировании-2011

Вычислительная задача пробного ЗНО-2011

Задача на соответствие графиков функциям пробного ЗНО-2011

Графическое решение неравенства на ЗНО-2011 по математике

Решение задачи 24 ЗНО-2011 по математике (пробного)

Вычисление арккосинуса на внешнем тестировании 2011 (пробном)

Решение задачи про конус ЗНО-2011 по математике (пробного)

Вычисление производных на ЗНО-2011 по математике (пробного)

Решение задачи про цилиндр ЗНО-2011 по математике (пробного)

Добавить в закладки

Постоянные читатели

Полезные игры и приложения

четверг, 9 июня 2011 г.

четверг, 2 июня 2011 г.

четверг, 9 июня 2011 г.

четверг, 2 июня 2011 г.