четверг, 9 июня 2011 г.

Правильные ответы на задания ЗНО 2011 по математике

Официальный сайт внешнего тестирования, testportal.gov.ua , опубликовал правильные ответы на задания теста по математике.

Ознакомиться с ними можно по ссылке:
http://www.abiturient.in.ua/uploads/File/otv_matemat_2011.pdf

четверг, 2 июня 2011 г.

Решение уравнения с параметром на внешнем тестировании 2011 по математике (пробном)


Задание 35. Рациональные уравнения с параметром. Укажите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение формула имеет ровно один корень.

Решение
Во-первых, найдём область дрпустимых значений. Знаменатель не должен быть нулём, значит, х не равен -1,5.
Теперь рассмотрим числитель. Уравнение x2-x+a=0 имеет единственный корень, когда дискриминант его D=1-4a обратится в ноль, т.е. при a=0.25.
Однако, это ещё не решение исходной задачи. Ведь может быть и такой случай: числитель обращается в 0 при двух разных значениях х, но одно из этих значений не будет входить в ОДЗ, и в результате у уравнения всё равно будет единственный корень. Получается, нужно найти ещё таике значения а, при которых уравнение x2-x+a=0 имеет два корня, один из которых равен –1,5.
Это легко найти по тереме Виета. Т.к. сумма корней уравнения должна быть равна единице (второй коэффициент с противоположным знаком), то второй корень равен 2,5. Тогда параметр а равен произведению корней и составит -3,75, что меньше значения 0,25, поученного нами ранее. Его и запишем в ответ.
Ответ: -3,75

Вычисление объёма пирамиды на ЗНО-2011 по математике (пробном)


Задание 34. Стереометрия. Пирамида. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом 15o. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60o. Радиус шара, описанного около пирамиды, равен 6 см. Вычислите объём пирамиды (в см3)

Решение
Изобразим данную пирамиду. Т.к. все рёбра наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности. Для прямоугольного треугольника он лежит на серединк гипотенузы.
Следовательно, грань SAB перпендикулярна плоскости основания, и центр описанного шара, (т.О) лежит в ней. Т.к. эта грань представляет собой равнобедренный треугольник с углом 60o при основании, то она – равносторонний треугольник в радиусом описанной окружности, равным радиусу описанного шара около пирамиды SABC формула
формула
Высота равностороннего треугольника в полтора раза больше радиуса описанной окружности: SH = 1,5 SO=9 (см)


Теперь найдём площадь основания АВС. По двум сторонам и углу между ними формула (см2)
Находим объём
формула (см3)
Ответ: 40,5 (см3)

Решение показательного неравенства


Задание 33. Показательные неравенства. Решите неравенство формула Если у неравенства есть целые решения, укажите наибольшее из них. Если решения есть, но указать наибольшее целое невозможно, в ответ запишите число 50. Если у неравенства нет решений, в ответ запишите число 100.

Решение
Неравенство перепишется так:
формула
Разделим обе части на 25x:
формула
Делаем замену формула
3t2-2t-5>0
(t+1)(3t–5)>0
Учитывая ограничения на t, берём промежуток формула
формула
x<-1
Наибольшее целое значение х, удовлетворяющее этому неравентву х=-2.
Ответ: -2

Вычисление тригонометрического выражения


Задание 32. Тригонометрия. Вычислите tg2x + ctg2x, если tgx – ctgx = 4

Решение
Возведём обе части выражения tgx-ctgx=4 в квадрат:
tg2x-2 tgx ctgx + ctg2x = 16
tg2x+ ctg2x = 18
Ответ: 18

Комбинаторная задача пробного внешнего тестирования по математике 2011


Задание 31. Комбинаторика. Заместитель директора составляет расписание для 10 класса. На понедельник запланировано 6 предметов: геометрия, биология, английский язык, химия, физкультура, география. Сколкьо всего существует вариантов расположения уроков для этого дня, если урок физкультуры должен быть последним?

Решение
Поскольку положение физкультуры зафиксировано, то у нас есть 5 элементов, которые нужно расположить по пяти позициям. Всего размещений будет 5!=120.
Ответ: 120

Задача на растворы ЗНО-2011 по математике (пробного)


Задание 30. Проценты. Сколько литров 5-процентного раствора соли нужно долить к 30 литрам 12-процентного раствора соли, чтобы получить 9-процентный раствор?

Решение
Для решения таких задач удобно использовать правило креста. Сначала пишем исходные концентрации:
5
12
Теперь правее между ними пишем целеую концентрацию:
5
9
12
И, наконец, на продолжении каждой диагонали пишем разность между угловой и центральной клетками:
5
3
9
12
4
Значит, 5-процентный и 12-процентый растворы нужно брать в отношении 3:4. Т.к. 4 части 12-процентного раствора – это 30 литров, то одна часть составит 7,5 литров, а три части – 22,5 л.
Ответ: 22,5 л.