Независимое внешнее тестирование 2011

четверг, 2 июня 2011 г.

Наибольшее значение функции: задача ЗНО 2011 (пробного)

Задание 29. Функции. Парабола. Найдите наибольшее значение функции y=-x²+3x-4. Если функция не имеет наибольшего значения, в ответ запишите число 100.

Решение

Графиком это функции является парабола. Т.к. коэффициент при квадрате отрицателен, то ветви её направлены вниз и наибольшее значение функция достигает в точке вершины. Абсцисса этой точки находится по формуле

Подставив это значение в формулу, получим y₀ = -2,25 + 4,5 – 4 = -1,75

Ответ: -1,75

Нахождение длин проекций на пробном внешнем тестировании-2011

Задание 28. Планиметрия. Трапеция. На рисунке изображена равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 8 см, ВС = 4 см, АС = 10 см. Установите соответствие между проекцией отрезка на прямую (1–4) и длиной проекции (А–Д)

Проекции

1. Проекция отрезка BC на прямую AD

2. Проекция отрезка CD на прямую AD

3. Проекция отрезка AC на прямую AD

4. Проекция отрезка AD на прямую AC

Длины

А 2 см

Б 4 см

В 4,8 см

Г 5,6 см

Д 6 см

Решение

1. Т.к. BC||AD, то его проекция будет равна его длине, т.е. 4 см.

2. Т.к. трапеция равнобокая, то проекции боковых сторон на большее основание будут равны и составят по 0,5(8 - 4) = 2 см.

3. Т.к. общая длина АD 10 см, а проекция CD на него равна 2 см, то длина проекции АС равна 6 см.

4. Сначала найдём высоту трапеции. Т.к. наклонная AC равна 10 см, а её проекция равна 6 см, то наклонная, проекция и высота трапеции формируют египетский треугольник с коэффициентом пропорциональности 2. Значит, высота трапеции составит 8 см. Далее, т.к. имеем дело с тестированием и три ответа уже отсеяны, можно применить остроумный приём для сокращения вычислений. В треугольнике ADC AD = 8, AC== 10, а CD больше высоты трапеции, т.е. CD>8.

Если бы стороны AD и CD были равными, то проекция AD на АС равнялась бы половине последней, т.е. пяти. А в данном случае она окажется немногим меньше пяти, т.е. 4,8.

Об этом красивом приёме рассказал нам выпускник 11-Д класса лицея №25 г.Кировограда Виталий Сиденко

Ответ: 1–Б; 2–А; 3–Д; 4–В

Вычислительная задача пробного ЗНО-2011

Задание 27. Формулы сокращённого умножения. Установите соответствие между числовыми выражениями (1–4) и их значениями (А–Д)

Решение

1. Применим формулу квадрата суммы:

2. Это выражение собирается в разность квадратов:

3. Можно применить квадрат разности, однако есть более простой способ – выделить общий множитель:

4. Раскрываем скобки:

Ответ: 1–В; 2–Д; 3–Г; 4–Б

Задача на соответствие графиков функциям пробного ЗНО-2011

Задание 26. Тригонометрия. Графики. Функции. Установите соответствие между функциями (1–4) и их графиками (А–Д)

Решение

1. График y=sinx представлен на рисунке Б (кстати, вот эта юмористическая картинка помогла многим нашим ученикам надёжно запомнить вид графиков основных функций).

2. График y=-cosx – это косинус, отражённый сверху вниз. Рисунок Д.

3. При прибавлении числа к аргументу функции, график смещается влево на это число. Рисунок Г.

4. Если аргумент берётся по модулю, все части графика, находящиеся ниже оси абсцисс, отражаютсявверх. Рисунок В.

Ответ: 1-Б, 2-Д, 3-Г, 4-В

Графическое решение неравенства на ЗНО-2011 по математике

Задание 25. Функции. На рисунке изображены графики функций f(x) = x + 3 и формула

. Решите неравенство формула

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
		[-3; 0]		[0;3]

Решение

Графически решением данного неравенства будет та область, для которой f(x) и g(x) определены и график f(x) находится выше графика g(x) или совпадает с ним. Такой областью будет точка x=-3 и закрытый промежуток [0; 3]

Ответ: А формула

Решение задачи 24 ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 24. Трапеция. Хозяину нужно вспахать огород, имеющий форму прямогуольной трапеции. Размеры огорода указаны на рисунке. Вспахать трактором 100 м² земли стоит 8 гривен. Сколько денег должен заплатить хозяин за вспашку всего огорода?