Наибольшее значение функции: задача ЗНО 2011 (пробного)

Задание 29. Функции. Парабола. Найдите наибольшее значение функции y=-x²+3x-4. Если функция не имеет наибольшего значения, в ответ запишите число 100.

Решение

Графиком это функции является парабола. Т.к. коэффициент при квадрате отрицателен, то ветви её направлены вниз и наибольшее значение функция достигает в точке вершины. Абсцисса этой точки находится по формуле

Подставив это значение в формулу, получим y₀ = -2,25 + 4,5 – 4 = -1,75

Ответ: -1,75

Задача на соответствие графиков функциям пробного ЗНО-2011

Задание 26. Тригонометрия. Графики. Функции. Установите соответствие между функциями (1–4) и их графиками (А–Д)

Решение

1. График y=sinx представлен на рисунке Б (кстати, вот эта юмористическая картинка помогла многим нашим ученикам надёжно запомнить вид графиков основных функций).

2. График y=-cosx – это косинус, отражённый сверху вниз. Рисунок Д.

3. При прибавлении числа к аргументу функции, график смещается влево на это число. Рисунок Г.

4. Если аргумент берётся по модулю, все части графика, находящиеся ниже оси абсцисс, отражаютсявверх. Рисунок В.

Ответ: 1-Б, 2-Д, 3-Г, 4-В

Графическое решение неравенства на ЗНО-2011 по математике

Задание 25. Функции. На рисунке изображены графики функций f(x) = x + 3 и . Решите неравенство 

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
		[-3; 0]		[0;3]

Решение

Графически решением данного неравенства будет та область, для которой f(x) и g(x) определены и график f(x) находится выше графика g(x) или совпадает с ним. Такой областью будет точка x=-3 и закрытый промежуток [0; 3]

Ответ: А 

Вычисление производных на ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 21. Производные. Найдите производную функции 

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д

Решение

По формуле производной частного:

Ответ: Г 

Построение графика на внешнем тестировании по математике 2011 (пробном)

Задание 16. Функции. Укажите рисунок, на котором изображён эскиз графика функции y=kx при k>1.

Варианты ответа:

Решение

График должен проходить через начало координат и подниматься. Это вариант В.

Ответ: В

Решение задачи про период тангенса ЗНО-2011по математике (пробного)

Задание 13. Тригонометрия. Надите наименьший положительный период функции y=0,5tg(4x)

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д

Решение

Период тангенса равен пи. Умножение всей функции на 0,5 приводит к сжатию графика вдвое вдоль оси Оу и на период не влияет. Умножение же аргумента на 4 приводит к сжатию графика в 4 раза вдоль оси Ох (имеено к сжатию, а не к растяжению). Так что, период новой функции составит четверть первоначального.

решение

Ответ: А 

Решение задачи про окружность внешнего тестирования-2011 по математике (пробного)

Задание 12. Графики. Укажите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку (3;-4)

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
x2+y2=5	(x+3)2+(y-4)2=25	x2+y2=25	x2+y2=49	(x-3)2+(y+4)2=25

Решение

Т.к. центр окружности в начале координат, то её уравнение имеет вид x²+y²=R², где R – её радиус. Т.к. окружность проходит через точку (3;-4), то радиус её равен расстоянию от этой точки до точки (0;0). Значит, R=5 и уравнение её имеет вид x²+y²=25

Кстати, окружность именно такого радиуса легко рисовать от руки на клетчатой бумаге.

Ответ: В x²+y²=25

Решение задачи 10 внешнего тестирования-2011 по математике (пробного)

Задание 10. Функции. Среди приведённых функций укажите такую, область определения которой совпадает с сеё множеством значений.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
y=x2	y=tgx	y=3	y=sinx

Решение

Функция  определена для всех неотрицательных значений x, и принимает также только неотрицательные значения. Следовательно, её область определения и множество значений совпадаютт

Ответ: Д