Вычисление объёма пирамиды на ЗНО-2011 по математике (пробном)

Задание 34. Стереометрия. Пирамида. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом 15^o. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60^o. Радиус шара, описанного около пирамиды, равен 6 см. Вычислите объём пирамиды (в см³)

Решение

Изобразим данную пирамиду. Т.к. все рёбра наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности. Для прямоугольного треугольника он лежит на серединк гипотенузы.

Следовательно, грань SAB перпендикулярна плоскости основания, и центр описанного шара, (т.О) лежит в ней. Т.к. эта грань представляет собой равнобедренный треугольник с углом 60^o при основании, то она – равносторонний треугольник в радиусом описанной окружности, равным радиусу описанного шара около пирамиды SABC 

Высота равностороннего треугольника в полтора раза больше радиуса описанной окружности: SH = 1,5 SO=9 (см)

Теперь найдём площадь основания АВС. По двум сторонам и углу между ними  (см²)

Находим объём

 (см³)

Ответ: 40,5 (см³)

Решение задачи про конус ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 22. Стереометрия. Конус. Высота конуса вдвое больше диаметра его сонования. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
15o	30o	45o	60o	75o

Решение

В осевом сечении такого конуса. Будет равнобедренный треугольник, высота которого равна половине основания. Таким образом, он сам ею разобьётся на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Значит, острый угол при основании исходного треугольника, являющийся углом между образующей конуса и плоскостью его основания, составит 45 градусов.

Ответ: В 45^o

Решение задачи про цилиндр ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 20. Стереометрия. Цилиндр. Периметр осевого сечения цилиндра равен 32 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна 10 см.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
см2	см2	см2	см2	см2

Решение

Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, 2 стороны которого – высоты цилиндра, в две другие – его диаметры. Т.к. его периметр равен 32 см, а высота цилиндра составляет 10 см, то диаметр цилиндра равен 6 см.

Боковая поверхность цилиндра вычисляется как произведение длины окружности основания на высоту и составит 

Ответ: Б  см²

Поиск симметричной точки на внешнем тестировании-2011 по математике (пробного)

Задание 18. Координаты в пространстве. Найдите точку, симметричную точке A(2; -3; 7) относительно координатной плоскости yz

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
(2; -3; -7)	(-2; -3; 7)	(2; 3; 7)	(-2; 3; -7)	(-2; -3; -7)

Решение

При симметрии точки относительно плоскости yz поменяет знак координата x, а остальные две сохранятся. Значит, таковой будет являться точка (-2; -3; 7)

Ответ: Б (-2; -3; 7)

Решение задачи про развёртку куба ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 8. Стереометрия. Развёртки. На рисунке изображены 3 фигуры под номерами 1, 2, 3. Укажите, какие из них являются развёртками куба.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
Только фигура 3	Только фигуры 1 и 2	Только фигуры 1 и 3	Только фигуры 2 и 3	Все фигуры

Решение

Достаточно элементарного пространственного воображения, чтобы увидеть: из первой фигуры куб сложить не получится (два верхних квадратика будут ложиться на одну и ту же грань), а из второй и третьей – вполне.

Ответ: Г Только фигуры 2 и 3