Нахождение длин проекций на пробном внешнем тестировании-2011

Задание 28. Планиметрия. Трапеция. На рисунке изображена равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 8 см, ВС = 4 см, АС = 10 см. Установите соответствие между проекцией отрезка на прямую (1–4) и длиной проекции (А–Д)

Проекции

1. Проекция отрезка BC на прямую AD

2. Проекция отрезка CD на прямую AD

3. Проекция отрезка AC на прямую AD

4. Проекция отрезка AD на прямую AC

Длины

А 2 см

Б 4 см

В 4,8 см

Г 5,6 см

Д 6 см

Решение

1. Т.к. BC||AD, то его проекция будет равна его длине, т.е. 4 см.

2. Т.к. трапеция равнобокая, то проекции боковых сторон на большее основание будут равны и составят по 0,5(8 - 4) = 2 см.

3. Т.к. общая длина АD 10 см, а проекция CD на него равна 2 см, то длина проекции АС равна 6 см.

4. Сначала найдём высоту трапеции. Т.к. наклонная AC равна 10 см, а её проекция равна 6 см, то наклонная, проекция и высота трапеции формируют египетский треугольник с коэффициентом пропорциональности 2. Значит, высота трапеции составит 8 см. Далее,  т.к. имеем дело с тестированием и три ответа уже отсеяны, можно применить остроумный приём для сокращения вычислений. В треугольнике ADC AD = 8, AC== 10, а CD больше высоты трапеции, т.е. CD>8.

Если бы стороны AD и CD были равными, то проекция AD на АС равнялась бы половине последней, т.е. пяти. А в данном случае она окажется немногим меньше пяти, т.е. 4,8.

Об этом красивом приёме рассказал нам выпускник 11-Д класса лицея №25 г.Кировограда Виталий Сиденко

Ответ: 1–Б; 2–А; 3–Д; 4–В

Решение задачи 24 ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 24. Трапеция. Хозяину нужно вспахать огород, имеющий форму прямогуольной трапеции. Размеры огорода указаны на рисунке. Вспахать трактором 100 м² земли стоит 8 гривен. Сколько денег должен заплатить хозяин за вспашку всего огорода?

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
144 грн.	450 грн.	576 грн.	288 грн.	360 грн.

Решение

Площадь трапеции равна полусумме её основания на высоту. Площадь данной трапеции составит 3600 м². Тогда стоимсоть работ равна 288 гривен.

Ответ: Г 288 грн.

Решение задачи про вписанный четырёхугольник внешнего тестирования-2011 по математике (пробного)

Задание 11. Планиметрия. Окружность. Четырёхугольник ABCD описан около окружности. AB = 12 см, BC = 8 см, CD = 18 см. Найдите длину отрезка AD.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
2	12	14	20	22

Решение

D описанном четырёхугольнике, суммы противолежащих сторон равны. Значит,

AB + CD = AD + BC

AD = AB + CD – BC = 12 + 18 – 8 = 22 (см)

Ответ: Д 22

Решение задачи 4 ЗНО-2011по математике (пробного)

Задание 4. Планиметрия. Четырёхугольники. Укажите ложное утверждение.

Варианты ответа:

А	Если в четырёхугольнике каждая сторона равна противоположной, то такой четырёхугольник – параллелограмм.
Б	Если все углы четырёхугольника равны, то такой четырёхугольник – прямоугольник.
В	Диагонали прямоугольника равны.
Г	Диагонали прямоугольника являются биссектрисами его углов.
Д	Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Решение

В прямоугольнике диагонали не являются его биссектриссами. Они будут таковыми в ромбе и квадрате.

Ответ: В Диагонали прямоугольника равны.

Решение задачи 2 ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 2. Геометрия. Углы. Прямые a, b, c попарно пересекаются в точках A, B, C (см. рисунок). По данным, указанным на рисунке, найдите угол ABC.

Варианты ответа:

А	Б	В	Г	Д
70o	80o	140o	100o	40o

Решение

Угол BAC смежен углу, равному 110^o, значит, равен 180-110=70 градусов. Угол АСВ, являющийся вертикальным углу в 30 градусов, также равен 30^o. Т.к. сумма углов в треугольнике равна 180^o, то угол ABC найдём как 180-70-30=40 градусов.

Ответ: Д 40^o