Правильные ответы на задания ЗНО 2011 по математике

Официальный сайт внешнего тестирования, testportal.gov.ua , опубликовал правильные ответы на задания теста по математике.

Ознакомиться с ними можно по ссылке:
http://www.abiturient.in.ua/uploads/File/otv_matemat_2011.pdf

Решение уравнения с параметром на внешнем тестировании 2011 по математике (пробном)

Задание 35. Рациональные уравнения с параметром. Укажите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение  имеет ровно один корень.

Решение

Во-первых, найдём область дрпустимых значений. Знаменатель не должен быть нулём, значит, х не равен -1,5.

Теперь рассмотрим числитель. Уравнение x²-x+a=0 имеет единственный корень, когда дискриминант его D=1-4a обратится в ноль, т.е. при a=0.25.

Однако, это ещё не решение исходной задачи. Ведь может быть и такой случай: числитель обращается в 0 при двух разных значениях х, но одно из этих значений не будет входить в ОДЗ, и в результате у уравнения всё равно будет единственный корень. Получается, нужно найти ещё таике значения а, при которых уравнение x²-x+a=0 имеет два корня, один из которых равен –1,5.

Это легко найти по тереме Виета. Т.к. сумма корней уравнения должна быть равна единице (второй коэффициент с противоположным знаком), то второй корень равен 2,5. Тогда параметр а равен произведению корней и составит -3,75, что меньше значения 0,25, поученного нами ранее. Его и запишем в ответ.

Ответ: -3,75

Вычисление объёма пирамиды на ЗНО-2011 по математике (пробном)

Задание 34. Стереометрия. Пирамида. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом 15^o. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60^o. Радиус шара, описанного около пирамиды, равен 6 см. Вычислите объём пирамиды (в см³)

Решение

Изобразим данную пирамиду. Т.к. все рёбра наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности. Для прямоугольного треугольника он лежит на серединк гипотенузы.

Следовательно, грань SAB перпендикулярна плоскости основания, и центр описанного шара, (т.О) лежит в ней. Т.к. эта грань представляет собой равнобедренный треугольник с углом 60^o при основании, то она – равносторонний треугольник в радиусом описанной окружности, равным радиусу описанного шара около пирамиды SABC 

Высота равностороннего треугольника в полтора раза больше радиуса описанной окружности: SH = 1,5 SO=9 (см)

Теперь найдём площадь основания АВС. По двум сторонам и углу между ними  (см²)

Находим объём

 (см³)

Ответ: 40,5 (см³)

Решение показательного неравенства

Задание 33. Показательные неравенства. Решите неравенство  Если у неравенства есть целые решения, укажите наибольшее из них. Если решения есть, но указать наибольшее целое невозможно, в ответ запишите число 50. Если у неравенства нет решений, в ответ запишите число 100.

Решение

Неравенство перепишется так:

Разделим обе части на 25^x:

Делаем замену 

3t²-2t-5>0

(t+1)(3t–5)>0

Учитывая ограничения на t, берём промежуток 

x<-1

Наибольшее целое значение х, удовлетворяющее этому неравентву х=-2.

Ответ: -2

Вычисление тригонометрического выражения

Задание 32. Тригонометрия. Вычислите tg²x + ctg²x, если tgx – ctgx = 4

Решение

Возведём обе части выражения tgx-ctgx=4 в квадрат:

tg²x-2 tgx ctgx + ctg²x = 16

tg²x+ ctg²x = 18

Ответ: 18

Комбинаторная задача пробного внешнего тестирования по математике 2011

Задание 31. Комбинаторика. Заместитель директора составляет расписание для 10 класса. На понедельник запланировано 6 предметов: геометрия, биология, английский язык, химия, физкультура, география. Сколкьо всего существует вариантов расположения уроков для этого дня, если урок физкультуры должен быть последним?

Решение

Поскольку положение физкультуры зафиксировано, то у нас есть 5 элементов, которые нужно расположить по пяти позициям. Всего размещений будет 5!=120.

Ответ: 120

Задача на растворы ЗНО-2011 по математике (пробного)

Задание 30. Проценты. Сколько литров 5-процентного раствора соли нужно долить к 30 литрам 12-процентного раствора соли, чтобы получить 9-процентный раствор?

Решение

Для решения таких задач удобно использовать правило креста. Сначала пишем исходные концентрации:

5

12

Теперь правее между ними пишем целеую концентрацию:

5
	9
12

И, наконец, на продолжении каждой диагонали пишем разность между угловой и центральной клетками:

5		3
	9
12		4

Значит, 5-процентный и 12-процентый растворы нужно брать в отношении 3:4. Т.к. 4 части 12-процентного раствора – это 30 литров, то одна часть составит 7,5 литров, а три части – 22,5 л.

Ответ: 22,5 л.